Session normale 2019

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soit al fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x) =x+1/2-lnx+1/2(lnx)^2`

1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) ` , puis donner l interprétation géométrique du résultat obtenu

2) a) Vérifier que ` forall x in ]0,+infty[: f(x) = x+1/2 +(1/2lnx -1)lnx`

b) En déduire que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty`

c) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[: {ln^2x}/x= 4 ({ln(sqrt(x))}/{sqrt(x)})^2`

puis en déduire `lim_{ x to +infty} {ln^2x}/x = 0 `

d) Montrer que `C_f` admet une branche parabolique , au voisinage de `+infty` , de direction la droite `y=x`

3) a) Montrer que `forall x in ]0,1] : x-1 +lnx <= 0 ` et `forall x in [1,+infty[ : x-1 +lnx >= 0 `

b) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : f'(x) = {x-1+lnx}/x`

c) Donner le tableau des variations de `f`

4) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : f''(x) = {2-lnx}/x^2`

b) En déduire que `C_f` admet un point d'inflexion qu on déterminera ses coordonnées

5) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : f(x) -x = 1/2(lnx-1)^2`

b) en déduire la position de `C_f` par rapport à `Delta : y=x`

c)Tacer la courbe `C_f` et la droite `Delta`

6) Montrer que la fonction `H(x) = xlnx -x` est une fonction primitive de la fonction `h(x) =lnx` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que `int_{1}^e (lnx)^2dx= e-2`

c) Caluler la surface délimitée par `C_f` la droite `Delta` et les droites `x=1` et `x=e`

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7) soit la suite `u_n` définie par `u_0= 1 ` et `u_{n+1} =f(u_n)`

a) Montrer par récurrence que `forall n in N : 1 <= u_n <= e `

b) Montrer que `u_n` est croissante

c) En déduire que `u_n` est convergente

d) Calculer `lim_{n to +infty} u_n `

1) Calculer `lim_{ x to 0^+} f(x) `

on a `lim_{ x to 0^+} f(x) = lim_{ x to 0^+} x+1/2 -lnx +(lnx)^2 `

on a `lim_{ x to 0^+} lnx = -infty `

alors `lim_{ x to 0^+} (lnx)^2 = (-infty)xx(-infty)= +infty `

`=> lim_{ x to 0^+} x+1/2 -lnx +(lnx)^2 = 0 +1/2 +infty +infty = +infty `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty `

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la droite d'équation ` x= 0 ` est une asymptote verticale de `C_f`

2a)

soit ` x > 0 `

on a ` x+1/2+(1/2lnx-1)lnx= x+1/2+1/2ln^2x -lnx = f(x) `

alors `forall x > 0 : f(x)= x+1/2+(1/2lnx-1)lnx `

2b) `lim_{ x to +infty} f(x) `

on a `forall x > 0 : f(x)= x+1/2+(1/2lnx-1)lnx `

alors `lim_{ x to +infty} f(x)= lim_{ x to +infty}x+1/2+(1/2lnx-1)lnx `


on a `lim_{ x to +infty} x+1/2 = +infty `

on a `lim_{ x to +infty} lnx = +infty ` alors `lim_{ x to +infty} (1/2lnx -1) = +infty`

`=> lim_{ x to +infty} (1/2lnx-1)lnx = +infty(+infty) = +infty `

donc `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty +infty = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

2c)

soit ` x > 0 : `

on a `4 ({ln(sqrt(x))}/{sqrt(x)})^2= {(2ln(sqrt(x)))^2}/{sqrt(x)^2}`

` = {(ln(sqrt(x)^2))^2}/x`

` = {(ln(x))^2}/x`

alors `forall x > 0 : {(ln(x))^2}/x = 4 ({ln(sqrt(x))}/{sqrt(x)})^2 `

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on a `lim_{ x to +infty} {(ln(x))^2}/x=lim_{ x to +infty} 4 ({ln(sqrt(x))}/{sqrt(x)})^2 `

on a pose ` t= sqrt(x) `

`=> lim_{ x to +infty} {(ln(x))^2}/x=lim_{ x to +infty} 4 ({ln(t)}/t)^2 `

or `lim_{ t to +infty} {lnt}/t = 0 `

`=> =lim_{ x to +infty} 4 ({ln(t)}/t)^2 = 0 `

`=> lim_{ x to +infty} {(ln(x))^2}/x = 0 `